Calculs d'une enceinte pas à pas : les formules avec un exemple

Derrière chaque simulateur d'enceintes se cachent quelques formules que l'on peut calculer sur une simple calculette. Elles valent la peine d'être connues : vous voyez tout de suite si un projet tient la route, et vous comprenez pourquoi l'application recommande telle ou telle caisse. Nous ferons tous les calculs sur un seul haut-parleur réel, le woofer Tang Band W5-1138SMF de mon journal de construction.

1. Les paramètres nécessaires

Relevez les paramètres de Thiele-Small dans le catalogue ou à partir d'une mesure :

Paramètre	Signification	W5-1138SMF
fs	résonance à l'air libre	45 Hz
Qms, Qes	facteur de qualité mécanique et électrique	3,56 et 0,57
Vas	volume d'air de même raideur que la suspension	4,81 l
Sd	surface émissive de la membrane	94 cm²
Xmax	excursion linéaire, dans un sens	9,25 mm
Re	résistance continue de la bobine	3,4 Ω

Le facteur de qualité total vaut Qts = Qms · Qes / (Qms + Qes), ici 3,56 · 0,57 / 4,13 = 0,49. Le volume déplacé est Vd = Sd · Xmax = 94 cm² · 0,925 cm = 87 cm³. C'est la quantité d'air que la membrane pousse à pleine excursion, et elle détermine le niveau que le haut-parleur peut atteindre dans le grave.

Règle approximative : un Qts inférieur à 0,4 convient au bass-reflex, de 0,4 à 0,7 à la caisse close comme au bass-reflex, au-delà de 0,7 plutôt à la caisse close ou au baffle ouvert. C'est un repère, pas une loi.

2. Caisse close

L'air dans la caisse ajoute de la raideur à la membrane. Le rapport des compliances est α = Vas / Vb, et on en tire :

Qtc = Qts · √(α + 1), le facteur de qualité dans la caisse,
fc = fs · √(α + 1), la résonance dans la caisse,
et inversement, le volume nécessaire : Vb = Vas / ((Qtc / Qts)² − 1).

Pour notre woofer, selon le Qtc visé :

Qtc	Volume Vb	fc	Point à −3 dB	Caractère
0,577	12,7 l	53 Hz	67 Hz	chute douce, meilleures transitoires
0,707	4,5 l	65 Hz	65 Hz	Butterworth, réponse la plus plate
0,8	2,9 l	73 Hz	66 Hz	légère bosse, grave « plus plein »
1,0	1,5 l	92 Hz	72 Hz	bosse de +1,2 dB, grave plus traînant

Fait intéressant, une caisse trois fois plus grande (12,7 l au lieu de 4,5 l) ne descend pas plus bas, elle chute simplement plus doucement. Dans une pièce, cela peut être un avantage : la pièce renforce le grave sous 50 Hz, et une chute douce s'y marie bien. Le matériau amortissant augmente le volume « acoustique » d'environ 15 à 25 %, si bien qu'une caisse remplie se comporte comme si elle était un peu plus grande.

3. Bass-reflex

L'évent et l'air de la caisse forment un résonateur de Helmholtz. Son accord vaut

fb = c / (2π) · √(Sp / (Vb · Leff)),

où Sp est la section de l'évent, Leff sa longueur correction d'extrémité comprise, et c = 343 m/s. En pratique, on utilise une forme qui donne directement la longueur du tube :

Lv = 23 562,5 · D² · N / (fb² · Vb) − 0,732 · D (Lv et D en cm, Vb en litres, N le nombre d'évents).

Pour une caisse de 9,5 l accordée à 43 Hz, on obtient :

Évent	Longueur	Vitesse de l'air*	Résonance du tube
1 × 50 mm	29,9 cm	12 m/s	environ 570 Hz
1 × 40 mm	18,5 cm	19 m/s	environ 930 Hz
2 × 25 mm	14,9 cm	24 m/s	environ 1 150 Hz

* Estimation du pire cas : v ≈ 2π · fb · Vd / Sp, soit tout le volume déplacé par la membrane poussé à travers l'évent. La limite sûre est d'environ 17 m/s, soit 5 % de la vitesse du son. Au-delà, l'évent souffle et siffle à fort niveau.

On voit ici le dilemme classique d'une petite caisse : un évent large et silencieux mesure près de 30 cm et ne tient pas dans une caisse de 286 mm de profondeur, même coudé. Les évents étroits tiennent, mais ils souffleront. La résonance propre du tube, environ c / (2 · L), passe aussi à travers la membrane dans le médium. C'est pourquoi j'ai utilisé un radiateur passif dans cette enceinte.

4. Radiateur passif

Un radiateur passif est une membrane sans aimant qui remplace l'air de l'évent. Son accord dépend de sa masse : plus il est lourd, plus fb est bas. Deux règles :

Le volume déplacé du radiateur doit valoir au moins 1,5 à 2 fois celui du woofer. Le SB15SFCR-00 offre 196 cm³ contre 87 cm³ pour le woofer, soit 2,25 fois plus.
Sous fb, la réponse chute plus raide qu'avec un évent, et juste sous fb le radiateur a sa propre résonance, qui crée un creux. Sous son accord, l'enceinte « coupe » donc le grave plus nettement.

Les avantages : aucun bruit d'écoulement ni résonance de tube, et l'accord peut être affiné en ajoutant des masses.

5. Ligne quart d'onde (TQWT, TL)

Une ligne fermée à une extrémité et ouverte à l'autre résonne lorsque sa longueur vaut un quart de la longueur d'onde :

f ≈ c / (4 · L)

La ligne de la Needle mesure 1 746 mm, donc 343 / (4 · 1,746) = 49 Hz. L'accord réel est légèrement décalé par l'évasement, la position du haut-parleur le long de la ligne et la sortie. Martin J. King a décrit précisément ces effets dans ses modèles de lignes. Loudsmith calcule la ligne tronçon par tronçon, avec l'amortissement, et rejoint la mesure d'impédance d'ADW à 0,2 Ω près.

6. Baffle step

Aux basses fréquences, un haut-parleur rayonne dans toutes les directions, aux hautes fréquences uniquement vers l'avant. La transition se situe vers

f3 ≈ 115 / W (W est la largeur du baffle en mètres)

et en dessous, le niveau baisse jusqu'à 6 dB. Pour un baffle de 190 mm, cela donne environ 605 Hz, pour l'étroite Needle (160 mm) environ 720 Hz. Près d'un mur, la perte est moindre, c'est pourquoi on ne compense généralement le step que de 2 à 4 dB dans le filtre. Outre le step lui-même, une onde se réfléchit sur les arêtes et provoque des ondulations dans le médium et l'aigu. Des arêtes arrondies et un tweeter décentré les réduisent.

7. Sensibilité à partir des paramètres et loi de Hoffman

Le rendement de référence découle directement des paramètres :

η₀ = 4π² / c³ · fs³ · Vas / Qes et la sensibilité SPL = 112,1 + 10 · log₁₀(η₀) dB/1 W/1 m.

Pour le W5-1138SMF : η₀ = 0,075 %, soit 80,9 dB/1 W. Sous 2,83 V dans 3,4 Ω, le haut-parleur reçoit 2,35 W, ce qui ajoute 3,7 dB et donne 84,6 dB. Le fabricant annonce 85 dB, le calcul est donc cohérent.

La formule illustre la « loi d'airain » de Hoffman : on ne peut pas avoir à la fois un fs bas, une petite caisse et une sensibilité élevée. Un woofer à longue excursion et à résonance basse dans une petite caisse le paie toujours en sensibilité.

Ce que Loudsmith apporte en plus

Les formules ci-dessus sont une première approximation et suffisent largement pour vérifier un projet. L'application va plus loin :

Elle calcule tout le circuit électroacoustique avec les pertes de la caisse, l'amortissement et l'inductance de la bobine, donc aussi l'impédance.
Elle compare jusqu'à huit types de caisses à la fois, dont la ligne de transmission, la TQWT, la ML-TL et le baffle ouvert.
Elle vérifie l'excursion de la membrane, la vitesse de l'air dans l'évent et le retard du grave à puissance réelle, pas seulement à la fréquence d'accord.
Elle estime le baffle step et les réflexions sur les arêtes à partir des dimensions de la caisse et de la position des haut-parleurs.
Elle choisit les évents parmi des tubes réellement disponibles et vérifie qu'ils tiennent.
Et pour finir, elle montre comment l'enceinte se comportera dans votre pièce.

Pour aller plus loin

TU Košice, exercices d'acoustique des communications : calculs de caisse close et de bass-reflex (en slovaque).
Université technique de Brno, mémoire de licence sur un système deux voies : les paramètres de Thiele-Small et leur mesure (en tchèque).
Un résumé de la méthode de Martin J. King pour les lignes quart d'onde.
Un aperçu des formules de caisses sur usenclosure.com.