Gehäuseberechnung Schritt für Schritt: die Formeln mit Beispiel

Hinter jedem Lautsprechersimulator steckt eine Handvoll Formeln, die du mit einem Taschenrechner durchrechnen kannst. Es lohnt sich, sie zu kennen: Du siehst sofort, ob ein Entwurf sinnvoll ist, und verstehst, warum die App ein bestimmtes Gehäuse empfiehlt. Wir rechnen alles an einem echten Chassis durch, dem Tieftöner Tang Band W5-1138SMF aus meinem Bautagebuch.

1. Die nötigen Parameter

Die Thiele-Small-Parameter nimmst du aus dem Katalog oder aus einer Messung:

Parameter	Bedeutung	W5-1138SMF
fs	Resonanzfrequenz in freier Luft	45 Hz
Qms, Qes	mechanische und elektrische Güte	3,56 und 0,57
Vas	Luftvolumen mit derselben Steifigkeit wie die Aufhängung	4,81 l
Sd	effektive Membranfläche	94 cm²
Xmax	linearer Hub, in eine Richtung	9,25 mm
Re	Gleichstromwiderstand der Schwingspule	3,4 Ω

Die Gesamtgüte ist Qts = Qms · Qes / (Qms + Qes), hier 3,56 · 0,57 / 4,13 = 0,49. Das Verdrängungsvolumen ist Vd = Sd · Xmax = 94 cm² · 0,925 cm = 87 cm³. So viel Luft bewegt die Membran bei vollem Hub, und davon hängt ab, wie laut das Chassis im Bass spielen kann.

Eine grobe Regel: Ein Qts unter 0,4 passt zu Bassreflex, 0,4 bis 0,7 sowohl zu geschlossen als auch zu Bassreflex, über 0,7 zu geschlossen oder zur offenen Schallwand. Das ist eine Orientierung, kein Gesetz.

2. Geschlossenes Gehäuse

Die Luft im Gehäuse macht die Membran steifer. Das Nachgiebigkeitsverhältnis ist α = Vas / Vb, und daraus folgt:

Qtc = Qts · √(α + 1), die Güte im Gehäuse,
fc = fs · √(α + 1), die Resonanz im Gehäuse,
und umgekehrt das nötige Volumen: Vb = Vas / ((Qtc / Qts)² − 1).

Für unseren Tieftöner bei verschiedenen Ziel-Qtc:

Qtc	Volumen Vb	fc	−3-dB-Punkt	Charakter
0,577	12,7 l	53 Hz	67 Hz	sanfter Abfall, bestes Impulsverhalten
0,707	4,5 l	65 Hz	65 Hz	Butterworth, flachster Frequenzgang
0,8	2,9 l	73 Hz	66 Hz	leichte Überhöhung, „vollerer“ Bass
1,0	1,5 l	92 Hz	72 Hz	+1,2 dB Überhöhung, dröhnigerer Bass

Interessant: Ein dreimal größeres Gehäuse (12,7 l statt 4,5 l) spielt nicht tiefer, es fällt nur sanfter ab. Im Raum kann das ein Vorteil sein: Der Raum hebt den Bass unter 50 Hz an, und ein sanfter Abfall verbindet sich gut damit. Dämmmaterial vergrößert das „akustische“ Volumen um etwa 15 bis 25 %, ein bedämpftes Gehäuse verhält sich also, als wäre es etwas größer.

3. Bassreflex

Das Rohr bildet zusammen mit der Luft im Gehäuse einen Helmholtz-Resonator. Seine Abstimmung ist

fb = c / (2π) · √(Sp / (Vb · Leff)),

wobei Sp die Rohrfläche ist, Leff seine Länge einschließlich Mündungskorrektur und c = 343 m/s. In der Praxis nutzt man eine Form, die direkt die Rohrlänge liefert:

Lv = 23.562,5 · D² · N / (fb² · Vb) − 0,732 · D (Lv und D in cm, Vb in Litern, N die Anzahl der Rohre).

Für ein 9,5-l-Gehäuse mit Abstimmung auf 43 Hz ergibt das:

Rohr	Länge	Luftgeschwindigkeit*	Rohrresonanz
1 × 50 mm	29,9 cm	12 m/s	etwa 570 Hz
1 × 40 mm	18,5 cm	19 m/s	etwa 930 Hz
2 × 25 mm	14,9 cm	24 m/s	etwa 1.150 Hz

* Eine Abschätzung für den ungünstigsten Fall: v ≈ 2π · fb · Vd / Sp, das gesamte Verdrängungsvolumen der Membran wird durch das Rohr gedrückt. Die sichere Grenze liegt bei etwa 17 m/s, also 5 % der Schallgeschwindigkeit. Darüber schnauft und zischt das Rohr bei höheren Pegeln.

Hier zeigt sich das klassische Dilemma eines kleinen Gehäuses: Ein weites Rohr, das leise bleibt, ist fast 30 cm lang und passt selbst gefaltet nicht in ein 286 mm tiefes Gehäuse. Enge Rohre passen, schnaufen aber. Die Eigenresonanz des Rohrs, etwa c / (2 · L), dringt außerdem durch die Membran in den Mittelton. Deshalb habe ich bei diesem Lautsprecher eine Passivmembran verwendet.

4. Passivmembran

Eine Passivmembran ist eine Membran ohne Magnet, die die Luft im Rohr ersetzt. Ihre Abstimmung bestimmt ihre Masse: je schwerer, desto tiefer fb. Zwei Regeln:

Das Verdrängungsvolumen der Passivmembran sollte mindestens 1,5- bis 2-mal so groß sein wie das des Tieftöners. Die SB15SFCR-00 hat 196 cm³ gegenüber 87 cm³ des Tieftöners, also das 2,25-Fache.
Unter fb fällt der Frequenzgang steiler ab als mit einem Rohr, und knapp unter fb hat die Passivmembran eine eigene Resonanz, die eine Senke erzeugt. Unterhalb seiner Abstimmung „schneidet“ der Lautsprecher den Bass also schärfer ab.

Die Vorteile: kein Strömungsgeräusch und keine Rohrresonanz, und die Abstimmung lässt sich mit Zusatzgewichten fein nachjustieren.

5. Viertelwellenleitung (TQWT, TL)

Eine an einem Ende geschlossene und am anderen offene Leitung resoniert, wenn ihre Länge einem Viertel der Wellenlänge entspricht:

f ≈ c / (4 · L)

Die Leitung der Needle ist 1.746 mm lang, also 343 / (4 · 1,746) = 49 Hz. Die tatsächliche Abstimmung verschieben die Verjüngung, die Position des Chassis entlang der Leitung und die Öffnung etwas. Martin J. King hat diese Effekte in seinen Leitungsmodellen genau beschrieben. Loudsmith berechnet die Leitung Abschnitt für Abschnitt mit Bedämpfung und trifft die Impedanzmessung von ADW auf 0,2 Ω genau.

6. Baffle Step

Bei tiefen Frequenzen strahlt ein Chassis in alle Richtungen ab, bei hohen nur nach vorne. Der Übergang liegt bei etwa

f3 ≈ 115 / W (W ist die Schallwandbreite in Metern)

und darunter sinkt der Pegel um bis zu 6 dB. Bei einer 190 mm breiten Schallwand sind das etwa 605 Hz, bei der schmalen Needle (160 mm) etwa 720 Hz. In Wandnähe ist der Verlust kleiner, deshalb kompensiert man den Step in der Weiche meist nur um 2 bis 4 dB. Neben dem Step selbst wird an den Kanten eine Welle reflektiert, die Welligkeit in Mittel- und Hochton verursacht. Abgerundete Kanten und ein außermittiger Hochtöner verringern sie.

7. Kennschalldruck aus den Parametern und Hoffmans Gesetz

Der Referenzwirkungsgrad folgt direkt aus den Parametern:

η₀ = 4π² / c³ · fs³ · Vas / Qes und der Kennschalldruck SPL = 112,1 + 10 · log₁₀(η₀) dB/1 W/1 m.

Für den W5-1138SMF: η₀ = 0,075 %, das sind 80,9 dB/1 W. Bei 2,83 V an 3,4 Ω bekommt das Chassis 2,35 W, was 3,7 dB hinzufügt, also 84,6 dB. Der Hersteller gibt 85 dB an, die Rechnung stimmt also.

Die Formel zeigt Hoffmans „eisernes Gesetz“: Eine tiefe fs, ein kleines Gehäuse und ein hoher Wirkungsgrad gehen nicht gleichzeitig. Ein langhubiger Tieftöner mit tiefer Resonanz in einem kleinen Gehäuse bezahlt immer mit Wirkungsgrad.

Was Loudsmith hinzufügt

Die Formeln oben sind eine erste Näherung und taugen bestens, um einen Entwurf zu prüfen. Die App geht weiter:

Sie berechnet den gesamten elektroakustischen Kreis mit Gehäuseverlusten, Bedämpfung und Schwingspuleninduktivität, und damit auch die Impedanz.
Sie vergleicht bis zu acht Gehäusetypen auf einmal, darunter Transmission Line, TQWT, ML-TL und offene Schallwand.
Sie prüft Membranhub, Luftgeschwindigkeit im Rohr und Gruppenlaufzeit im Bass bei realer Leistung, nicht nur bei der Abstimmfrequenz.
Sie schätzt Baffle Step und Kantenreflexionen aus den Gehäusemaßen und den Chassispositionen.
Sie wählt Rohre aus, die du tatsächlich kaufen kannst, und prüft, ob sie hineinpassen.
Und schließlich zeigt sie, wie sich der Lautsprecher in deinem Raum verhalten wird.

Weiterlesen

TU Košice, Übungen zur Kommunikationsakustik: Berechnung von geschlossenem Gehäuse und Bassreflex (auf Slowakisch).
TU Brünn, Bachelorarbeit über ein Zweiwegesystem: Thiele-Small-Parameter und ihre Messung (auf Tschechisch).
Eine Zusammenfassung der Methode von Martin J. King für Viertelwellenleitungen.
Eine Übersicht der Gehäuseformeln auf usenclosure.com.